Equação do 2º Grau

Equações de 2º grau

Definições

   Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c   IR e

    Exemplo:

• x² - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.
• 6x² - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.
• 7x² - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.
• x² - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;

                                                b    é sempre o coeficiente de x,

                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0 (b = 0)

x² - 10x = 0 (c = 0)

4x² = 0 (b = c = 0)

Resolução de equações incompletas

   Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
   

   1º Caso: Equação do tipo  .

   Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .
  
  SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:
                   

   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
                                                

   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
                                                

   De modo geral, a equação do tipo  tem para soluções  e  .

  2º Caso: Equação do tipo 

   Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

            Solução

                        

  

    De modo geral, a equação do tipo  possui duas raízes reais se  for um número positivo, não tendo raiz real caso  seja um número negativo.

Resolução de equações completas

    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
    A partir da equação , em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

 Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

   Exemplos:

• resolução a equação: 
  Temos  

                        

Discriminante

   Denominamos discriminante o radical b² - 4ac que é representado pela letra grega  (delta).

    Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

   De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .
        O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

    Exemplo:

• Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?
  
  SoluçãoPara que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
   

        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo  
            O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
                                    

    Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.
  SoluçãoPara que a equação admita raízes iguais é necessário que .

                      

   Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .
        O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação sãonúmero complexos.
       

   Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
  
  SoluçãoPara que a equação não tenha raiz real devemos ter 
                  

   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo   Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:   Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.   Para , a equação tem duas raízes reais iguais.   Para , a equação não tem raízes reais.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_5.php

Continua

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